28.5.2015 Hladík

Skupina A

1. (8 bodov)
   Zformulujte a dokažte Cayleyho-Hamiltonovu větu.
   Definujte pojem bilineární forma.

2. (6 bodov)
   Rozhodněte, zda bilineární forma $b(x,y)=x^{T}Ay$ tvoří skalární součin na prostoru $V=\text{span}\{(2,2,-1{)}^T,(1,0,1{)}^T\}$ A=(102031212) A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} A=​102​031​212​​

3. (6 bodov)
   Buď
   $$A=\frac{1}{24}\left(\begin{array}{cc}7& 1\\ 1& 7\end{array}\right)$$

Spočítejte $\det (I_2+A+A^2+A^3+...)$

Výsledek: $\det =2$

4. (8 bodov) - každé po dva body
   Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:
   (a) Buď $v_U$ projekce vektoru $v$ na podprostor $U$, a buď $u\in U$ libovolné.
   Pak $\Vert u-v{\Vert }^2=\Vert v-v_U{\Vert }^2+\Vert v_U-u{\Vert }^2$
   (b) Matice $\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 5\end{array}\right)$ je podobná jen sama sobě.
   (c) Spektrální rozklad symetrické matice s navzájem různými vlastními čísly je jednoznačný.
   (d) Buď $A=\{(1,2),(2,3)\}$. Pak existuje matice $S$ taková, že $S^{T}AS=I$.

Skupina B

1. Důkaz Choleského rozkladu. Definujte Determinant.
   Víc bohužel nevím.

Známky - pestré, ale oproti LAI mi přišlo mírnější opravování

4 - 6 - 10
3 - 11 - 16
2 - 17 - 21
1 - 22+

Skupina B:
1.) Zformulujte a dokažte větu o Choleského rozkladu (existenci a jednoznačnost). (7b)
Definujte pojem determinant (1b)
2.) Rozhodnete, zda bilineární forma $b(x,y)=x^{T}Ay$, kde
A=(202030202) A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} A=​202​030​202​​

tvoří skalární součin na prostoru $V=\text{span}\{(1,-1,-2{)}^T,(1,1,1{)}^T\}$. (6b)
3.)
$A=\frac{1}{24}\left(\begin{array}{cc}1& 7\\ 7& 1\end{array}\right)$ Spočítejte $\det (I+A+A^2+...)$. (6b)
4.
a) Pokud $P,Q\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ jsou ortogonální, pak i $P^{-1}Q$ je ortogonální (2b)
b) Mají-li 2 matice stejná vlastní čísla, tak jsou podobné (2b)
c) Je-li $A$ symetrická reálná matice, pak $iA$ nemá reálné nenulové vlastní číslo. (2b)
d) Buď $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$. Pak existuje matice $S$ taková, že $S^{T}AS=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -3\end{array}\right)$. (2b)

Celkem 28b, stupnice stejná.
Ak som niečo poplietol tak sorry, snáď si to niekto všimne :) Pekný víkend a gl hf so skúškami.

Nevíte někdo prosím, jak by se dělala ta dvojka? Díky
BTW Myslím, že ta trojka měla teda vyjít $\frac{12}{11}$. Udělal jsem stejnou blbost, ale pak jsem si vlastně uvědomil, že
$$\det \left(\frac{1}{24}A\right)=\frac{1}{24^2}\det (A)$$

Srry, cele jsem to nějak špatně pochopil. Kdybych mohl příspěvek smazat, tak to udělám :)